题目

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点，

AC

AB

=2

提问时间：2020-10-16

答案

（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．
（2）过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=

1

2

AB，OA=OC=

1

2

AC，
而

AC

AB

＝2，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即

OF

OE

=2；
（3）

OF

OE

=n．