题目

如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，并与BC边上的高AE交于G．求证：EG=EC．

提问时间：2020-10-16

答案

证明：
连接AD，
∵边AB的垂直平分线交BC于D，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD=22.5°，
∴∠ADE=22.5°+22.5°=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∴∠DAE=45°=∠ADE，
∴DE=AE，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠AEC，
∴∠ACE+∠FDC=90°，∠ACD+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠FDC，
在△DEG和△AEC中

∠DEA＝∠AEC DE＝AE ∠GDE＝∠CAE

∴△DEG≌△AEC（ASA），
∴EG=EC．

连接AD，求出DE=AE，∠GDE=∠CAE，证△DEG≌△AEC，根据全等三角形的性质推出即可．

本题考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．