题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1,且f(x+2)为偶函数.
①对于任意实数x1,x2(x1≠x2),都有[f(x1)+f(x2)]/2>f((x1+x2)/2)成立,求a的范围.
②在①的条件下,求y=f(x)在[a,a+2]上的值域.
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提问时间：2020-10-16

答案

f(x+2)为偶函数,图像关于y轴对称
而f(x+2)图像是将f(x)向左平移2个单位得到的
所以f(x)的图像关于直线x=2对称.
即二次函数f(x)=ax^2+bx+1的对称轴
为x=-b/(2a)=2
∴b=-4a
∴f(x)=ax^2-4ax+1=a(x-2)^2+1-4a
①对于任意实数x1,x2(x1≠x2),都有
[f(x1)+f(x2)]/2>f((x1+x2)/2)成立
∴f(x)的图像为下凹,抛物线开口朝上
∴a>0
②
区间[a,a+2]的中点为a+1
当0