题目

如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,
其中点A的坐标为(-3,0).
(1)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若点p在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点p的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴,交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

提问时间：2020-10-16

答案

（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点,∴A、B两点关于直线x=-1对称,∵点A的坐标为（-3,0）∴点B的坐标为（1,0)（2）①a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
对称轴x=-b/(2a)=-1
解得b=2．将B（1,0）代入y=x^2+2x+c,得1+2+c=0,解得c=-3．则二次函数的解析式为y=x^2+2x-3,∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0,-3）,OC=3．设P点坐标为（x,x^2+2x-3）,∵S△POC=4S△BOC,
1/2*|x|*3=4*1/2*1*3
∴|x|=4,x=±4．当x=4时,x^2+2x-3=16+8-3=21；当x=-4时,x^2+2x-3=16-8-3=5．所以点P的坐标为（4,21）或（-4,5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t,将A（-3,0）,C（0,-3）代入,
得
−3k+t＝0
t＝−3
解得
k＝−1
t＝−3
即直线AC的解析式为y=-x-3．
延长AD交y轴于E
设Q点坐标为（x,-x-3）（-3≤x≤0）,则D点坐标为（x,x^2+2x-3）,
E(0,3(x-1))
△ACD的面积=△ACE面积-△DCE面积
=1/2*3*(3(1-x)-3)-1/2*(-x)*(3(1-x)-3)
=-3/2x^2-9/2x
对称轴x=-3/2时有最大值,满足-3≤x≤0
∴Q=(-3/2,-3/2)
打字不易,