题目

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上有两点A、B满足OA垂直于OB（O为坐标原点）,求证：O到直线AB距离为定值
第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为（a^2+b^2）/(a^2b^2)

提问时间：2020-10-16

答案

设A（x1,y1）B（x2,y2）
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设MN方程：y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理：(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理：x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简：(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线MN的距离d=｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²