题目

不等式性质：a1约等于根号2,令a2= 1 + （1/（1+a1））.（1）证明……
a1约等于根号2,令a2= 1 + （1/（1+a1））.（1）证明：根号2介于a1、a2之间（2）求a1、a2种哪一个更接近于根号2（3）你能设计一个比a2更接近于根号2的一个a3吗?

提问时间：2020-10-16

答案

首先由于,a1约等于根号2,可以知道a2>1,a1>0
1.化简得a1=1/(a2-1)-1,然后分a1>根号2,a1<根号2讨论,可以得到当a1>根号2时,a2<根号2；a1<根号2时,a2>根号2.那么就是说根号2肯定介于a1、a2之间.具体过程略
2比较 （a1-根号2）的绝对值和（a2-根号2）的绝对值
两个绝对值平方后相减得(a1+a2-2倍根号2)*(a1-a2).（*）.
这里来确定a1+a2与2倍根号2的大小.首先要知道 x+1/x 型的函数当x>1时是严格递增的.于是a1+a2=(1+a1)+1/（1+a1）.
如果a1>根号2>a2,那么a1+a2>(1+根号2)+1/（1+根号2）=2倍根号2,此时*式>0;
如果a1<根号20.
综上所述（a1-根号2）的绝对值大于（a2-根号2）的绝对值,所以a2更接近于根号2.
3.有以上过程知,不管a是大于还是小于根号2,我们通过1 + 1/（1+a）这样的一个迭代,都可以得到一个比a本身更接近根号2的数（就像题目中的a2）.那么现在,我们令a3=1 + （1/（1+a2））,就可以保证a3比a2跟接近于根号2