题目

已知双曲线M与椭圆x2/25+y2/13=1有相同的焦点,且有准线于抛物线y2=-2根3x的准线重合
1）双曲线M的方程
2）是否存在实数k,使得直线y=kx+3与双曲线M相交于A.B两点,且向量OA*向量OB=12（O为坐标原点）并说明理由

提问时间：2020-10-16

答案

1)
设双曲线方程是：x2/a2-y2/b2=1
椭圆半焦距c=根号(25-13)=根号12
所以a2+b2=12
抛物线准线方程是x=(根号3)/2
所以a2/根号(a2+b2)=(根号3)/2
a=根号3,b=3
双曲线方程是
x2/3-y2/9=1
2)
设直线y=kx+3与双曲线M相交于不同的2点：A（x,y),B(m,n)
把y=kx+3代入双曲线方程得：
(3-k^2)*x^2-6kx-18=0 ……………（*)
首先当k^2=3时,方程最多只有1个解,与题设矛盾
所以k^2不等于3
韦达定理：xm=18/(k^2-3),x+m=6k/(3-k^2)
所以yn=(kx+3)(km+3)=k^2xm+3k(x+m)+9
=9
12=向量OA*向量OB=xm+yn=(18/(k^2-3))+9
所以18/(k^2-3)=3
k=3或-3
由方程(*)的判别式得：
36k^2+72(3-k^2)>0
k^2