题目

已知f(x)是定义【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若a、b属于【-1,1】,a+b不等于0时,有f(a)+f(b)/(a+b)>0.
1、判断函数f(x)在【-1,1】上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
2.解不等式f(x+(1/2))3.若f(x)小于等于m`2-2pm+1对所有x属于【-1,1】,P属于【-1,1】（P是常数）恒成立,求实数m的取值范围.

提问时间：2020-10-16

答案

解:
(1)设T=-b
则：b=-T
由于：
a+b≠0时,都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
故：a-T≠0时,
有：[f(a)+f(-T)]/[a+(-T)]>0
又f(x)是奇函数
则有：f(-T)=-f(T)
则：[f(a)-f(T)]/[a-T]>0
即：[a-T]与[f(a)-f(T)]同号
即：a>T时,恒有f(a)>f(T)
a故：f(x)在[-1,1]上是增函数
(2)
由f(x+0.5)-1〈=（x+0.5）〈=1
-1〈=1/（x-1）<=1
x+1/2>1/(x-1)

∴-1（3）
由以上知f(x)最大值为f(1)=1,
所以要f(x)≤m2－2pm+1对所有x∈〔－1,1〕,p∈〔－1,1〕(p是常数)恒成立,
只需1≤m2－2pm+1恒成立,
得实数m的取值范围为m≤0或m≥2p.