题目

设a>0，求函数f（x）=

x

-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

提问时间：2020-10-15

答案

由题意得f′(x)=

1

2 x

-

1

x+a

(x>0)，
令f′（x）=0，
即x²+（2a-4）x+a²=0，
其中△=4（a-2）²-4a²=8-8a，
（i）当a>1时，△<0成立，
对所有x>0，有x²+（2a-4）+a²>0．
即f′（x）>0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（ii）当a=1时，△=0成立，
对x≠1，有x²+（2a-4）x+a²>0，
即f′（x）>0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（iii）当0<a<1时，△>0成立，
令f′（x）>0，
即x²+（2a-4）x+a²>0，
解得x<2-a-2

1-a

或x>2-a+2

1-a

，
因此，函数f（x）在区间(0，2-a-2

1-a

)，(2-a+2

1-a

，+∞)内也单调递增．
令f′（x）<0，
即x²+（2a-4）x+a²<0，
解得2-a-2

1-a

<x<2-a+2

1-a

，
因此，函数f（x）在区间(2-a-2

1-a

，2-a+2

1-a

)内单调递减．

由题意函数f（x）=

x

-ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．