题目

对于有理数M,如果存在一个有理数N,使得M=N^2成立,则称M是一个完全平方数,多项式A=x(x+1)(x+2)(x+3)+1
x=1,A=25=5^2;x=2,A=121=11^2;……对于任意的有理数x,A是否一定是一个完全平方是?

提问时间：2020-10-15

答案

A
=x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=x(x+3) * (x+1)(x+2) + 1
= (x²+3x) * (x²+3x+2) + 1
= (x²+3x)² + 2(x²+3x) + 1
= (x²+3x+1)²
对于任意的有理数x,A一定完全平方数.
题中,对完全平方数是这样定义的：如果M=N^2,其中N是有理数.对于任意的有理数x,（x²+3x+1）(即N)是有理数,（x²+3x+1）^2(即M)也是有理数,符合如果M=N^2,其中N是有理数,那么M是一个完全平方数的定义.故对于任意的有理数x,A一定完全平方数.
如果x是实数,那就不是了.因为x是无理数时,（x²+3x+1）也是无理数.