题目

利用定义法证明f(x)=-x^3+2在R上为减函数

提问时间：2020-10-15

答案

函数f(x)=x³＋2的定义域为（﹢∞,﹣∞）.在定义域内任取两点x1,x2,且x1＜x2,则
f(x1)－f(x2)＝(x1)³+2－[(x2)³-2]＝(x1)³－(x2)³＝[（x1)－(x2)] [(x1)²＋(x1)(x2)＋(x2)²]
∵（x1)＜(x2),则 (x1)－(x2)＜0
又∵(x1)²＋(x1)(x2)＋(x2)²＝（x1)²＋(x1)(x2)＋¼(x2)²＋¾(x2)²=[(x1)＋(x2)]²＋¾(x2)²
由于（x1)＜(x2),即(x1)≠(x2),则[(x1)＋(x2)]²＞0,¾(x2)²≥0
∴ [(x1)＋(x2)]²＋¾(x2)²＞0
∴f(x1)－f(x2)＝[（x1)－(x2)] [(x1)²＋(x1)(x2)＋(x2)²]＜0
所以,函数f(x)=x³＋2在R上是减函数.