题目

设函数f(x)=x(e^x+ae^-x)(x属于R)是偶函数,则实数a的值为
设函数f(x)=x(e^x+ae^-x)(x属于R）是偶函数,则实数a的值为_____
f(-x)=f(x) =-x[(e^-x)+(ae^x)]=x(e^x+ae^-x) 多项式相等,对应项的系数相等,所以a=-1
多项式相等,对应项的系数相等?这个我真的看不出来

提问时间：2020-10-15

答案

设函数f(x)=x[e^x+ae^(-x)](x属于R)是偶函数,则实数a的值为_____
f(x)=xe^x+axe^(-x)； f(-x)=-xe^(-x)-axe^x；
因为是偶函数,f(-x)=f(x),即有 -xe^(-x)-axe^x=xe^x+axe^(-x);
故由-xe^(-x)=axe^(-x),得a=-1；
由-ae^x=xe^x,得-a=1,即a=-1.
事实上,当a=-1时,f(x)=x[e^x)-e^(-x)]；f(-x)=-x[e^(-x)-e^x]=x[e^x-e^(-x)]=f(x).