题目
已知函数f(x)=根号X,g(x)=a/x,a属于R.若曲线y=fx与曲线y=gx相交,且在交点处的切线互相垂直,求a的值及切线方程
提问时间：2020-10-15
答案
f(x)=√x=g(x)=a/x
所以,a≥0
且,x=a^(2/3)
即,交点为(a^(2/3),a^(1/3))
又,f'(x)=(1/2)[1/√x]；g'(x)=-a/x^2
已知在交点处的切线互相垂直,所以：f'(a^(2/3))=-1/g'(a^(2/3))
===> (1/2)*a^(-1/3)=a^(1/3)
===> a^(2/3)=1/2
===> a=√2/4
交点坐标为(1/2,√2/2)
切线斜率分别为：√2/2,-√2
所以切线分别为：2√2x-4y+√2=0；√2x+y-√2=0
所以,a≥0
且,x=a^(2/3)
即,交点为(a^(2/3),a^(1/3))
又,f'(x)=(1/2)[1/√x]；g'(x)=-a/x^2
已知在交点处的切线互相垂直,所以：f'(a^(2/3))=-1/g'(a^(2/3))
===> (1/2)*a^(-1/3)=a^(1/3)
===> a^(2/3)=1/2
===> a=√2/4
交点坐标为(1/2,√2/2)
切线斜率分别为：√2/2,-√2
所以切线分别为：2√2x-4y+√2=0；√2x+y-√2=0
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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