题目
已知数列an的前n项和Sn=3^n+t,求证:t=-1是an为等比数列的充要条件
提问时间:2020-10-15
答案
充分性:
若t=-1,那么Sn=3^n-1
a1=S1=3-1=2
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
上式对n=1也成立
即an=2*3^(n-1)
a(n+1)/an=2*3^n/[2*3^(n-1)]=3
所以{an}为等比数列,公比为3
必要性:
若{an}为等比数列,
a1=S1=3+t,
a2=S2-S1=3^2+t)-(3+t)=6
a3=S3-S2=(3^3+t)-(3^2+t)=18
∵{an}为等比数列
∴a2/a1=a3/a2
即6/(t+3)=18/6=3
∴t+3=2,
t=-1
∴
t=-1是an为等比数列的充要条件
若t=-1,那么Sn=3^n-1
a1=S1=3-1=2
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)
上式对n=1也成立
即an=2*3^(n-1)
a(n+1)/an=2*3^n/[2*3^(n-1)]=3
所以{an}为等比数列,公比为3
必要性:
若{an}为等比数列,
a1=S1=3+t,
a2=S2-S1=3^2+t)-(3+t)=6
a3=S3-S2=(3^3+t)-(3^2+t)=18
∵{an}为等比数列
∴a2/a1=a3/a2
即6/(t+3)=18/6=3
∴t+3=2,
t=-1
∴
t=-1是an为等比数列的充要条件
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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