题目

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d的图象过点P(0,2)且在点M(-1,1)处的切线方程为y=6x+7 求
（1）函数y=f（x）的解析式
（2）函数y=f（x）的单调区间
外加 函数f（x）=x^4-2x^2+3的单调递增区间

提问时间：2020-10-15

答案

f(x)=x^3+bx^2+cx+d
过点P(0,2),所以：2=d
点M(-1,1)处的有切线,所以过点M(-1,1)
1=-1+b-c+2,即b=c
f'(x)=3x^2+2bx+c
y=6x+7是在M(-1,1)的切线方程,所以
6=3(-1)^2+2b(-1)+c=3-2b+c
联立b=c解得b=c=-3
所以f(x)=x^3-3x^2-3x+2
f'(x)=3(x^2-2x-1)=3[(x-1)^2-2]
单调递增区间是(-∞,-1-√2],[√2-1,+∞)
单调递减区间是(-1-√2,√2-1)
f（x）=x^4-2x^2+3
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4(x+1)x(x-1)
单调递增区间是：[-1,0],[1,+∞)