题目

如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k等于多少?
答案有：由已知3n+1是一个完全平方数,
所以我们就设3n+1=a^2,
显然a^2不是3的倍数,于是a=3k±1,
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2,所以k的最小值是3.
不明白的地方：1.为什么a^2不是3的倍数,那么a=3k±1
2.“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么?

提问时间：2020-10-15

答案

（1）为什么a^2不是3的倍数,那么a=3k±1
因为 a^2 = 3n+1 即 a 除以 3 等于 n 余 1,显然不是 3 的倍数.
由于 a^2 不是 3 的倍数,所以 a 也不是 3 的倍数.
用 a = 3k ± 1 （k为整数）这个式子可以表示所有不是 3 的倍数的整数.其实就是为了后面的证明把 a 这个数换了一种写法而已.
（2）“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么?
你写的解题答案有个地方处理得不好,就是 a = 3k ± 1 里面的 k 不是题目中“表示成个k完全平方数的和”的那个 k.
可以把 a = 3k ± 1 换写为 a = 3t ± 1 .反正也就是一个代号而已.
最后得到的 n+1 = 2k^2 + (k±1)^2 换写为：
n+1 = 2t^2 + (t±1)^2 = t^2 + t^2 + (t±1)^2
即把 n+1 写为了 t,t,t±1 这三个数的平方和,也就是说表示为了 3 个完全平方数的和.所以 k=3.