题目

11的整除法则

提问时间：2020-10-15

答案

能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33,33能被11整除,583也一定能被11整除.
[能被7、11、13整除的数的特征]
能被7、11、13整除的数的特征是,这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被7、11、13整除.这是因为任一自然数
A=an·10n＋…+a3·103+a2·102＋a1·10+a0,
设末三位上的数字所组成的数为N,末三位以前的数字所组成的数为M,则
N＝a2·102+a1·10＋a0,
M＝an·10n－8＋an-1·10n－4＋…＋a3.
于是 A＝M·1000＋N＝(M·1000＋M）＋（N—M）
＝M（1000+1）+N—M
如果N＞M,则
A=1001M＋（N-M）；
如果N＜M,则
A=1001M-（M-N）.
上面两式中,1001能被7、11、13整除,从而第一项1001M也能被 7、11、13整除,所以 A能被 7、11、13整除的特征是（N-M）或（M—N）能被7、11、13整除.能被11整除的数还有另一个特征：即奇数位上的各数之和与偶数位上的各数之和的差（或反过来）能被11整除.例如：
72358=7×(9999＋1）＋2×（1001—1）＋3
×（99＋1）＋5×（11—1）＋8
=（7×9999＋2×1001＋3×99＋5×11）
+[（7+3+8)-（2＋5)],
上面最后一个式子中,第一个加数能被11整除,因此72538能否被11整除就取决于第二个加数能否被11整除.这里
（7＋3 ＋8）-（2＋5）=11,
它当然能被11整除,所以11|72358.