题目

二次方程ax²-

2

bx+c=0，其中a、b、c是一钝角三角形的三边，且以b为最长．
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α，β都是正数；
③若a=c，试求|α-β|的变化范围．

提问时间：2020-10-15

答案

①在钝角△ABC中，b边最长．∴−1＜cosB＜0且b2＝a2+c2−2accosB，△＝(−

2

b)2−4ac＝2b2−4ac
=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0．（其中2（a-c）²≥0且-4accosB＞0
∴方程有两个不相等的实根．
②α+β＝

2 b

a

＞0，αβ＝

c

a

＞0，∴两实根α、β都是正数．
③a=c时，

α+β＝ 2 b a αβ＝ c a ＝1

，∴(α−β)2＝a2+β2−2αβ＝(α+β)2−4αβ＝

2b2

a2

−4
=

2(a2+c2−2accosB)−4a2

a2

＝−4cosB，∵−1＜cosB＜0，∴0＜−4cosB＜4，因此0＜|α−β|＜2．

（1）证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可．（2）要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可．
（3）根据二次方程根与系数的关系，将|α-β|转化为某变量的函数，再求它的变化范围．

本题考点：函数与方程的综合运用．

考点点评：本题是以一元二次方程作为，考查解三角形的有关定理，余弦定理作为研究三角形边角关系的一大工具，应用广泛．通过余弦定理沟通了三角函数与三角形有关性质，在研究较复杂的三角形问题时，常需正、余弦定理联袂出场、密切协作，方能解决问题．