题目

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0,当x>0时,证明不等式x/(x+1)

提问时间：2020-10-15

答案

原式因为x＞0所以能化为
(x+1)ln(x+1)-x＞0
只要证明x＞0时(x+1)ln(x+1)-x＞0恒成立就可以了
设g(x)=(x+1)ln(x+1)-x (x＞0)
求导
g'(x)=(x+1)[1/(x+1)]+1*ln(x+1)-1
=ln(x+1) (x＞0)
∵当x＞0时
g'(x)=ln(x+1)＞0
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数
∴g(x)在(0,+∞)上最小值大于g(0)
∴g(x)在(0,+∞)上所有的值都大于g(0)
即g(x)＞g(0)
(x+1)ln(x+1)-x＞(0+1)ln(0+1)-0
(x+1)ln(x+1)-x＞0
因此当x＞0时
x/(x+1)＞ln(x+1)
ps:f(x)没用上,你这是某个大题的最后一问吧,f(x)是前几问中的吧?
一般有难度的大题前几问都对最后一问有提示作用,但最重要的是如何将前几问联系起来的思维方法