题目

根据下列条件,求二次函数的关系式 (1):图像过点A(0,3)B(2,0)C(4,3) （2）：顶点为（2,3）.且过点（
根据下列条件,求二次函数的关系式
(1):图像过点A(0,3)B(2,0)C(4,3)
（2）：顶点为（2,3）.且过点（1,1）
（3）：与X轴交点为（1,0）和（5,0）,且经过点（-1,4）
（4）：与X轴交于AB两点,且AB=6.顶点为（-2,3）
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提问时间：2020-10-15

答案

数学之美团为你解答
设二次函数为y=ax^2+bx+c,函数与y轴的交点为(0,c),对称轴为x=-b/(2a)
顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
(1) 函数与y轴的交点是A,即c=3,B在函数上,则：4a+2b+3=0 (1)
又C点在函数上,所以,16a+4b+3=3 (2)
联立(1)(2)可以解得：a=3/4,b=-3,所以函数：y=(3/4)x^2-3x+3
(2) -b/2a=2,(4ac-b^2)/(4a)=3,即4ac-16a^2=12a,即a(4a+3-c)=0,故c=4a+3,或a=0(舍去)
又函数过点(1,1),故a+b+c=1,所以可得：5a+b=-2,结合b=-4a得a=-2,进而c=-5,b=8
所以函数：y=-2x^2+8x-5
(3) 韦达定理：函数与x轴的2个交点x1、x2满足：x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
即：-b/a=6,c/a=5,即;b=-6a,c=5a,又点(-1,4)在函数上,则：a-b+c=4,即a=1/3
b=-2,c=5/3,所以函数：y=(1/3)x^2-2x+5/3
(4) -b/2a=-2,则b=4a；(4ac-b^2)/(4a)=3,则：4ac-b^2=12a (1)
又与x轴交于AB两点,且AB=6,故sqrt(b^2-4ac)=6a,即b^2-4ac=36a^2,所以36a^2=-12a
即(a≠0)：a=-1/3,则：b=-4/3,代入(1)得：c=5/3,所以函数：y=(-1/3)x^2-4x/3+5/3