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题目
抛物线y=x^2的动弦AB与圆x^2+y^2=1相切,分别过AB的抛物线的两条切线交与M,求M的轨迹方程

提问时间:2020-10-15

答案
由y=x^2得抛物线上任一点的切线斜率为y'=2x,再据抛物线过两点(x1,y1)(x2,y2),得
方程组,再设分别过AB的抛物线的两条切线交与M(x,y)则得M点的坐标:
((x1+x2)/2,x1*x2).即x=(x1+x2)/2,y=x1*x2……(1)
另,设AB切圆x^2+y^2=1于P(x0,y0),则OP的方程为y0=k·x0,解得k=y0/x0
所以AB所在直线L的斜率为-x0/y0,
设该直线L方程为y=-x0/y0·x+b,整理得xx0+yy0=y0·b
又,该直线与圆x^2+y^2=1有公共点P(x0,y0),代入得y0·b=1
即:切线AB所在直线L的方程为xx0+yy0=1或y=(-x0/y0)·x+1/y0
把它与抛物线方程联立得x^2+x0/y0·x-1/y0=0
得:x1+x2=-x0/y0,x1*x2=-1/y0
结合(1),得x=-x0/2y0,y=-1/y0
即:y0=-1/y,x0=2x/y,代入圆的方程得y^2-4x^2=1
又根据抛物线与圆的交点,求y=(√5-1)/2,所以y0的变化范围为[(√5-1)/2,1]
相应的y的范围为:[-(√5+1)/2,-1]
最后结果为:y^2-4x^2=1 y∈[-(√5+1)/2,-1]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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