题目

抛物线y=x^2的动弦AB与圆x^2+y^2=1相切,分别过AB的抛物线的两条切线交与M,求M的轨迹方程

提问时间：2020-10-15

答案

由y=x^2得抛物线上任一点的切线斜率为y'=2x,再据抛物线过两点(x1,y1)(x2,y2),得
方程组,再设分别过AB的抛物线的两条切线交与M(x,y)则得M点的坐标：
((x1+x2)/2,x1*x2).即x=(x1+x2)/2,y=x1*x2……（1）
另,设AB切圆x^2+y^2=1于P(x0,y0),则OP的方程为y0=k·x0,解得k=y0/x0
所以AB所在直线L的斜率为-x0/y0,
设该直线L方程为y=-x0/y0·x+b,整理得xx0+yy0=y0·b
又,该直线与圆x^2+y^2=1有公共点P(x0,y0),代入得y0·b=1
即：切线AB所在直线L的方程为xx0+yy0=1或y=(-x0/y0)·x+1/y0
把它与抛物线方程联立得x^2+x0/y0·x-1/y0=0
得：x1+x2=-x0/y0,x1*x2=-1/y0
结合（1）,得x=-x0/2y0,y=-1/y0
即：y0=-1/y,x0=2x/y,代入圆的方程得y^2-4x^2=1
又根据抛物线与圆的交点,求y=(√5-1)/2,所以y0的变化范围为[(√5-1)/2,1]
相应的y的范围为:[-(√5+1)/2,-1]
最后结果为:y^2-4x^2=1 y∈[-(√5+1)/2,-1]