题目
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b).且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)=-3.
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈N*)上的值域.
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈N*)上的值域.
提问时间:2020-10-15
答案
证明:(1)设x1>x2,则x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,
而f(a+b)=f(a)+f(b),
∴f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)
∴函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(x-x)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0),而令a=b=0可得f(0)=0
∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)是奇函数,
(3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数.
∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1).
同理,f(m)=mf(1).
∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3.
∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n.
因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
而f(a+b)=f(a)+f(b),
∴f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2)
∴函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明由f(a+b)=f(a)+f(b)得f(x-x)=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0),而令a=b=0可得f(0)=0
∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)是奇函数,
(3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数.
∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1).
同理,f(m)=mf(1).
∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3.
∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n.
因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1如何积累古诗词的知识.提高作诗词的能力?
- 2急救!某校为学生提供开水,用锅炉将200kg的水加热到100℃.燃烧了6kg的无烟煤.试求:1锅炉...
- 31.Daniel was thinking about what would life be like in the future.2.What do you like life on Mars?
- 4哪两个无理数相乘等于有理数
- 5用分式的加减运算
- 6It made me_____ when I thought of my sick uncle.
- 7对划线部分提问 I saw a young man walking up to the phone box画线得a young man
- 8有这样一道阿拉伯的古算题
- 9已知y的平方-4y+4+根号下x+y-1=0,求y的x次方的值
- 10_____ was the temperature yesterday?A.How many B.How much C.What D.How 要原因
热门考点
- 1you _____________ steam ________ water.(into/cool/turns/it)
- 2Zn+H2SO4(稀)=ZnSO4+H2↑是复分解反应吗
- 3若一个正方形的面积减少9cm²,就与一个边长为4cm的正方形面积相等,求原来那个正方形的边长
- 4甲乙两人从相距1000米的A,B两地出发,相向而行,价每分钟走60米,乙每分钟走40米,甲带着一只狗和他同时出发,狗以每分钟100米的速度向乙奔去,遇到乙又以相同的速度向甲奔去,遇到甲又同速向乙奔去,
- 5“质量均匀分布,形状规则的物体的重心可能在物体上,也可能在物体外.”这句话对吗?
- 6有关人生品质的有什么书呢?就是通过一些名言来告诉我们一些人生品质.请给书名.介绍一下书的大概内容
- 7仿照例句,写两个句子,要求句式,修辞手法相同.例句:故乡如一件厚厚的袄,等待
- 8五年级学生栽了一批树,活了85棵,死了7棵,活了的棵树是栽树总棵树的几分之几?
- 9兰兰说:一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数._.
- 10为什么常常会看到对岸江边灯柱上的电灯在江中的像不是电灯而是光柱