题目

设A为n阶方阵,证明：秩r(A^n) = r(A^(n+1)) = 1… = r(A^m) = 11… 1 对任意的m>n成立.

提问时间：2020-10-15

答案

设A的若当标准型为J,有可逆矩阵P,使得A=P^(-1)JP
若A的特征值没有0,说明A是满秩的,则r(A^k)=n,对任意k都成立.
若A有为0的特征值,设其对应的若当块为J_1、J_2……J_k.
由于A^n=(P^(-1)JP)^n=P^(-1)(J^n)P,因此r(A^n)=r(J^n).
而(J_i)^n=(J_i)^(n+1)=(J_i)^(n+2)=...=(J_i)^(m)=...=O,对i=1,2……k.
则r(J^n)=r(J^(n+1))=r(J^(n+2))=...=r(J^m)=...
对应的有r(A^n) = r(A^(n+1)) = x01… = r(A^m) = x01x01…
如果不熟悉若当标准型的话,可以证明A^nX=0与A^(n+1)X=0同解,这种方法可以见参考资料.