题目

已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，这向量

m

＝(cosB，sinC)，

n

＝(cosC，−sinB)，且

m

•

n

＝

1

2

．
（1）求内角A的大小；
（2）若a=2

3

，求△ABC面积S的最大值．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）∵

m

•

n

=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=

1

2

，…（3分）
又A、B、C为三角形的三个内角，
∴B+C=60°，∴A=120°．…（7分）
（2）∵a=2

3

，a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²+bc=12，…（10分）
又b²+c²≥2bc（当且仅当b=c时取“=”），
∴12≥3bc，
∴bc≤4…（12分）
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

．…（13分）
∴当b=c时，三角形ABC的面积S的最大值为

3

．…（14分）

（1）由题意，可由数量积公式及

m

•

n

＝

1

2

建立方程，得到cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，再利用余弦的和角公式化简即可得角A；
（2）由a=2

3

及（1）可得b²+c²+bc=12，由S=

1

2

bcsinA知，可由基本不等式由b²+c²+bc=12求出bc的最大值，从而解出三角形面积的最大值．

本题考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形．

考点点评：本题考点是解三角形，考查数量积的坐标表示做工，基本不等式的运用，余弦定理，余弦的和角公式，涉及到的公式较多，综合性较强，解题的关键是熟练掌握公式及由题意判断出解题的方向，本题的难点是由三角形的面积公式得出利用基本不等式求bc的最值，本题考察了利用公式灵活变形的能力及判断推理的能力