题目

已知抛物线y²sup2;=4x的焦点为F,直线l过M(4,0) 1、若点F到直线l的距离为√3,求直线l的斜率
2、设A、B为抛物线上的两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证：线段AB中点横坐标为定值.

提问时间：2020-10-15

答案

1.y^2=4x,p=2,则有焦点坐标是F(1,0)
设直线L的方程是y=k(x-4)
那么有:|k(1-4)-0|/根号(1+k^2)=根号3
|3K|=根号3*根号(1+K^2)
3K^2=1+K^2
K^2=1/2
K=(+/-)根号2/2.
2.
设抛物线y^2=4x的两点A(x1 ,y1) B(x2,y2)
线段AB的垂直平分线恰过点M
再根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得
(4-x1)^2 +(y1)^2 =(4-x2)^2 +(y2)^2 (他们距离的平方是相等的,这里用点到点的距离的公式) 由题知(y1)^2 =4x1 (y2)^2=4x2
代入并展开得
16+(x1)^2 -8x1 +4x1=(x2)^2 -8x2 +16 +4x2
即(x1)^2 -(x2)^2 =4x1-4x2
即(x1-x2)(x1+x2)=4(x1-x2)
即x1+x2=4
线段AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=2
所以是定值