题目

猜想sn=1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

提问时间：2020-10-15

答案

先看单项的分解式：
an=1/（1+2+3+...+n）=2/n(n+1) =2*[1/n-1/(n+1)]
根据单项的分解式来求和：
Sn=a1+a2+...+an
=1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+...+1/（1+2+3+...+n）
=2/1*2+2/2*3+2/3*4...+2/n(n+1)
=2*[ 1/1*2+1/2*3+1/3*4...+1/n(n+1) ]
=2*[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+ ...1/n-1/(n+1) ]
=2*[1-1/(n+1)]
当n＝1时,
s1=2*1/(1+1) =1 成立
当n＝k时,假设成立
sk＝2k/(k+1)
当n＝k+1是
s(k+1)= sk +1/(1+2+3+…+(k+1))
=2k/(k+1)+ 2/((k+1)(k+2))
=2(k/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2))
=2(1-1/(k+2))
=2(k+1)/((k+1)+1) 成立