题目

已知x2+4y2已知x2+4y2=4x.,x2+y2的最大值为 ,最小值为
已知x2+4y2=4x.,x2+y2的最大值为 ,最小值为
这个方法我们还没教过呢、不懂的、

提问时间：2020-10-15

答案

x^2+4y^2=4x
则(x-2)^2+4y^2=4
即((x-2)/2)^2+y^2=1
用参数方程来做
令(x-2)/2=cosθ,y=sinθ
则x=2cosθ+2,y=sinθ
所以x^2+y^2=(2cosθ+2)^2+(sinθ)^2
=4(cosθ)^2+8cosθ+4+(sinθ)^2
=3(cosθ)^2+8cosθ+5
=3(cosθ+4/3)^2-1/3
因为-1≤cosθ≤1
所以1/3≤cosθ+4/3≤7/3
故0≤x^2+y^2≤16
即x^2+y^2的最大值为16,最小值为0
这是另一初等方法：
x^2+4y^2=4x
y^2=(4x-x^2)/4
因为y^2≥0,所以(4x-x^2)/4≥0
所以0≤x≤4
所以x^2+y^2=x^2+(4x-x^2)/4=3x^2/4+x
=(3/4)*(x^2+4x/3)
=(3/4)*(x+2/3)^2-1/3
由以上0≤x≤4
那么2/3≤x+2/3≤14/3
那么4/9≤(x+2/3)^2≤196/9
那么0≤(3/4)*(x+2/3)^2-1/3≤16
即0≤x^2+y^2≤16