题目

如果一质点在直线运动过程中,某时刻的瞬时速度和该时刻已通过的距离成正比,这是什么运动?
说得简单些,就是速度正比于位移的直线运动
数学推导会得到很奇异的,不可理解的结果
例如：建立一维坐标轴,把0-1米间的部分无限微分,每段长Δx,分为n段
用v1,v2,v3……vn来表示通过Δx1,Δx2,Δx3,……Δxn时的速度
速度正比于位移,所以v=kx
则有v1=kΔx
v2=2kΔx
v3=3kΔx
……
vn=nkΔx
对应地,用t1,t2,t3……tn来表示通过Δx1,Δx2,Δx3,……Δxn时的时间
则有t1=Δx/kΔx=1/k
t2=1/2k
t3=1/3k
……
tn=1/4k
则质点从0-1米所用时间为
Σt=(1/k)*(1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/n)
当n趋于∞时,由于调和级数是发散的,Σt趋于∞
也就是如此运动,质点永远到不了1米处
这就很奇怪了
难道这样的运动不存在吗?
若存在,请推导出它的v-t和x-t函数关系并解释上述结果的成因
若不存在,请证明
请真正理解我的问题,并能够认真负责地解答的高手来回答

提问时间：2020-10-14

答案

首先这个问题我也不敢说很清楚,商讨吧：
v=kx
dx/dt=kx
∫dx/x=∫kdt (A)
lnx=kt+c
x=e^(kt+c)
x=Ce^(kt)
(A)式要求x0不为0,否则分母无意义；
类比一下谐振子,x和Ek不能全为0,也就是说这个运动的重点在于初始值的设定.
以上