题目

f(x)=-x³/3-x²/3+5x/3-4,设a≥1,函数g(x)=x³-3a²x-2a,
若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围?求详解

提问时间：2020-10-14

答案

先来求f(x)在[0,1]的值域,f(x)的导数为dy/dx=-x^2-2/3x+5/3
其解为x1=-5/3.x2=-1
因此容易知道f(x)在[0,1]单调,因此其值域为[-4,-3]
容易知道g(x)在[0,1]上的值域包含[-4,-3]
g(x)求导数知道,g(x)的导数为dy/dx=3x^2-6ax
令其等于零,解得其根为x3=0,x4=2a
又因为a>=1,因此很容易知道,g(x)在[0,1]单调减少,其值域为[1-5a,-2a]
由上面所述,知道满足1-5a=-3即可,解之得1