题目

设二次函数f(x)满足f(-1)=0,且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立
（1）求f(1)的值
（2）求函数f(x)的表达式

提问时间：2020-10-14

答案

1,因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立,那么对于x=1自然也成立了,所以有1<=f(1)<=1于是就有f(1)=1
2,因为f(x)是二次函数,所以不妨设f(x)=ax^2+bx+c因为f(1)=1,f(-1)=0所以有a+b+c=1,a-b+c=0于是可以得到a+c=1/2,b=1/2所以有f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a.
因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立,所以有x=（1）ax^2-1/2x+1/2-a>=0恒成立,所以有判别式小于或等于0,即有1/4-4a(1/2-a)<=0解得a=1/4.
(2)(a-1/2)x^2+1/2x-a<=0恒成立,所以有a-1/2<0,1/4+4a(a-1/2)<=0,于是可以解得,a=1/4
所以有a=1/4,c=1/4于是有二次函数的方程为y=1/4x^2+1/2x+1/4.