题目

已知x+y+z=1,求3x^2+4y^2+5z^2的最值
..详解...谢
三楼能再讲清楚点不
没看懂...我智商

提问时间：2020-10-14

答案

我是三楼那个..
先说如果没有x,y,z非负的条件,就没有最大值..若有条件,最大就是5..
考虑最小值..(没有x,y,z非负限制)..
3x^2+1200/2209≥(120/47)x,
4y^2+900/2209≥(120/47)y,
5z^2+720/2209≥(120/47)z,
由x+y+z=1,(3x^2+1200/2209)+(4y^2+900/2209)+(5z^2+720/2209)≥(120/47)(x+y+z)=120/47,
则3x^2+4y^2+5z^2≥120/47-1200/2209-900/2209-720/2209=60/47,当且仅当x=20/47,y=15/47,z=12/47时取到..
∴最小值60/47,无最大值.
这里的数是这样..
为了凑出三组a^2+b^2≥2ab的形式,由于已知条件是x+y+z=1,所以要求配出的x,y,z的系数相等..
由x^2,y^2,z^2的系数是3:4:5,所以先配上20,15,12,
也就是:
3x^2+20≥4(根号下15)x,
4y^2+15≥4(根号下15)y,
5z^2+12≥4(根号下15)z,
第一步保证了可以制造不等式后求值,
第二步,要能取等,必须使得每个不等式都取到等号:
上面三个不等式同时取等时,
x=2/3(根号下15),y=1/2(根号下15),z=2/5(根号下15),
这样,x+y+z=47/30(根号下15),
为使得x+y+z=1,需要乘以系数2/47(根号下15),
即x=20/47,y=15/47,z=12/47,
这样,三个不等式变成了:
3x^2+1200/2209≥(120/47)x,
4y^2+900/2209≥(120/47)y,
5z^2+720/2209≥(120/47)z,
即有了上面的过程..