题目
设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+b(a,b,c,d∈R)的图像关于原点对称且x=1时f(x)去最小值-2
最小值-2/3求a,b,c,d的值
最小值-2/3求a,b,c,d的值
提问时间:2020-10-14
答案
∵函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像关于原点对称
∴ f(x)为奇函数
则f(-x)=-f(x)
即-ax^3 +bx² -cx +d = -(ax^3+bx^2+cx+d) = -ax^3-bx^2 - cx- d
比较系数可得:b = 0,d = 0
∴f(x) = ax^3 +cx
f'(x) = 3ax² + c
∵x=1时f(x)去最小值-2/3
∴f(1)=a+c= -2/3
f'(1)=3a+c=0
解得:a=1/3,c=-1
即f(x) = x^3/3 - x
∴ f(x)为奇函数
则f(-x)=-f(x)
即-ax^3 +bx² -cx +d = -(ax^3+bx^2+cx+d) = -ax^3-bx^2 - cx- d
比较系数可得:b = 0,d = 0
∴f(x) = ax^3 +cx
f'(x) = 3ax² + c
∵x=1时f(x)去最小值-2/3
∴f(1)=a+c= -2/3
f'(1)=3a+c=0
解得:a=1/3,c=-1
即f(x) = x^3/3 - x
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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