题目

椭圆E:a方=8 b2=4 焦点在x轴 .设Q（1,0）,过Q点引直线l与椭圆E交AB两点 求线段AB中点P轨迹方程

提问时间：2020-10-14

答案

设A(x1,y1) B(x2,y2) P(x,y)
P是AB中点 那么x1+x2=2x y1+y2=2y①
椭圆方程x²/8+y²/4=1
x1²/8+y1²/4=1
x2²/8+y2²/4=1
两式相减得到
(x1+x2)(x1-x2)/8=-(y1+y2)(y1-y2)/4
⇒(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/2(y1+y2)
左边是直线AB的斜率k,右边用①式代换
得到k=-x/2y②
另外AB过Q(1,0) P(x,y)
所以斜率k=y/(x-1)③
由②③得到
-x/2y=y/(x-1)
⇒2y²=-x²+x
⇒x²+2y²-x=0
这就是P点的运动轨迹方程
另外Q（1,0）在椭圆内部,所以不需要讨论斜率的取值范围