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题目
已知M与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为
1
2

(1)求M点的轨迹方程;
(2)若M的轨迹为曲线C,求C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的方程.

提问时间:2020-10-14

答案
(1)设M坐标为(x,y),由题意得
x2+y2
(x-3)2+y2
=
1
2
,整理得(x+1)2+y2=4.
所以M点的轨迹方程为(x+1)2+y2=4.
(2)因为曲线C:(x+1)2+y2=4,
所以C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′是与C半径相同的圆,故只需求C′的圆心坐标即可,设C′的圆心坐标(x0,y0).
由题意得
y0
x0+1
=
1
2
2•
x0-1
2
+
y0
2
-4=0
,解得
x0=3.8
y0=2.4

故曲线C′的方程为(x-3.8)2+(y-2.4)2=4.
(1)设M坐标为(x,y),由题意得
x2+y2
(x−3)2+y2
=
1
2
,整理得M点的轨迹方程;
(2)求出C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的圆心坐标,即可求得结论.

轨迹方程.

本题考查轨迹方程,考查圆的对称性,考查学生的计算能力,属于中档题.

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