题目

已知函数f(x)=x-1-alnx (a∈R).求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
②必要性
f'（x）=1-a x =x-a x ,其中x＞0
（i）当a≤0时,f'（x）＞0恒成立,所以函数f（x）在（0,+∞）上是增函数
而f（1）=0,所以当x∈（0,1）时,f（x）＜0,与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时,∵x＞a时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（a,+∞）上是增函数；
0＜x＜a时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0,所以当a≠1时,f（a）＜f（1）=0,此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
在上面证明必要性的过程中,“∵f（1）=0,所以当a≠1时,f（a）＜f（1）=0,此时与f（x）≥0恒成立相矛盾”是什么意思?为什么a≠1时,有f（a）＜f（1）?

提问时间：2020-10-13

答案

当a＞0时,∵x＞a时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（a,∞）上是增函数；
0＜x＜a时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
由导数知f（a）为最小值