题目

已知抛物线C：y²=ax与双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点A（2.0）作倾斜角为

π

4

的直角，与抛物线C交于M、N两点，判断∠MON是否为直角．若角MON为直角，请给出证明：若不是直角，请说明理由．

提问时间：2020-10-13

答案

（1）双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的右焦点为（2，0），故

a

4

＝2，解得a=8．
∴所求抛物线方程为y²=8x；
（2）由题意得直线方程为y=x-2，设交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组

y＝x−2 y2＝8x

，可化为x²-12x+4=0，△＞0
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）=-16，
故x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，
∴OM、ON不垂直，即∠MON不是直角．

（1）确定双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的右焦点为（2，0），可得

a

4

＝2，即可求抛物线C的方程；
（2）由题意得直线方程为y=x-2，与抛物线方程联立，证明x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，即可得出结论．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，确定抛物线方程是关键．