题目

已知P点在圆(x+1)平方+y平方=1上移动,Q点在椭圆x平方/9+y平方/4=1上移动,求绝对值PQ的最小值

提问时间：2020-10-13

答案

令圆（x＋1）^2＋y^2＝1的圆心为A,则点A的坐标为（－1,0）.
连结AQ交⊙A于B,在⊙A上取点B外的任意一点为C,则A、C、Q构成了一个三角形.
显然有：｜CQ｜＋｜AC｜＞｜AQ｜＝｜BQ｜＋｜AB｜,而｜AC｜＝｜AB｜,
∴｜CQ｜＞｜BQ｜.
∴点P与点B重合,否则｜PQ｜就不是最小的.
∵｜AP｜是⊙A的半径,为定值,∴要使｜PQ｜取得最小值,就需要｜AQ｜取得最小值.
∵点Q在椭圆x^2/9＋y^2/4＝1上,∴可令点Q的坐标为（3cosθ,2sinθ）.
∴｜AQ｜＝√［（3cosθ＋1）^2＋（2sinθ－0）^2］,
∴｜AQ｜^2＝（3cosθ＋1）^2＋4（sinθ）^2＝9（cosθ）^2＋6cosθ＋1＋4（sinθ）^2,
∴｜AQ｜^2＝5（cosθ）^2＋6cosθ＋5＝5（cosθ＋3/5）^2＋16/5.
显然,当cosθ＋3/5＝0时,｜AQ｜^2有最小值＝16/5,∴｜AQ｜的最小值＝4/√5＝4√5/5.
∴｜PQ｜的最小值＝｜AQ｜的最小值－｜AP｜＝4√5/5－1.
即：｜PQ｜的最小值是 4√5/5－1.