题目

已知向量OB=（2,0),OC=(2,2),CA=(根号2 cosα,根号2 sinα),则向量OA与OB的夹角的范围

提问时间：2020-10-13

答案

本题易知,A点实际上在以C为圆心根号2为半径的圆上运动,而OB向亮即为X轴正向,做出图知圆在x轴上方,则当OA与圆下切时角最小,上切是最大,设直线OA为y=kx,圆C方程为（x-2）^2+(y-2)^2=2,利用相切时d=r=根号2得到k=2+根号3（上切）或k=2-根号3（下切）,利用正切展开式球tan（45°-30°）=2-根号3,所以下切时为15°,同理上切时是75°,所以最终答案为【15°,75°】闭区间,以上为代数解法.
同理当相切时,也可不用代数法求d=r,利用几何法,设下切时OA与圆C切于D点,则角CDO=90°,又r=CD=根号2,OC=2根号2=2CD,所以∠DOC=30°,又∠COX(轴正向)=45°,所以角DOX(轴正向)=15°,同理的另一角为75°,所以答案为【15°,75°】
发现相切条件后利用几何法可避免繁琐计算,利用解三角形知识直接得到较好.