题目

定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,＋∞)上的增函数 [ 标签：实数,函数,
定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,＋∞)上的增函数[ 标签：实数,函数,增函数 ] 无忧ミ嗟叹 2009-10-28 20:42 (1)求f(1),f(-1)的值:
(2)求证:f(-x)=f(x)
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0

提问时间：2020-10-13

答案

(1)由f(xy)=f(x)+f(y)有f(1)=f(1)+f(1),可得f(1)=0
又f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0
(2)当y=-1时,由f(xy)=f(x)+f(y)恒成立有f(-x)=f(x)+f(-1)即f(x)=f(-x)
(3)由f(xy)=f(x)+f(y)有f(2)+f(x-1/2)≤0即为f(2x-1)≤0
由f(-x)=f(x)及f(x)是区间(0,＋∞)上的增函数 ,由对称可知f(-x)在(-∞,0)上是减函数
而f(1)=f(-1)=0,所以f(2x-1)≤0的解集为-1≤2x-1≤1且2x-1≠0
所以解得0≤x≤1且x≠1/2