题目

关于椭圆的方程.急.
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²＝1（a>b>0）的短半轴长为√3.点F1.F2分别是椭圆C的左
右焦点，以原点为圆心，椭圆C的长轴为半径的圆与椭圆的准线相切。
⑴求椭圆C的方程
⑵若过点F2的直线L与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F1MN面积最大时直线L的方程

提问时间：2020-10-13

答案

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²＝1（a>b>0）的短半轴长为√3.点F1.F2分别是椭圆C的左右焦点,以原点为圆心,椭圆C的长轴为半径的圆与椭圆的准线相切.
⑴求椭圆C的方程
⑵若过点F2的直线L与椭圆C相交于点M,N两点,求使△F1MN面积最大时直线L的方程
(1).右准线x=a²/c；依题意,a²/c=2a,即有2ac-a²=a(2c-a)=0,故得a=2c；
又已知b=√3,b²=3,a²-b²=a²-3=4c²-3=c²,即3c²=3,故得c²=1,于是a²=b²+c²=3+c²=3+1=4；
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1.椭圆的离心率e=c/a=1/2；右焦点F₂(1,0)；
(2).设直线L的方程为y=k(x-1),
△F₁MN的面积S=(1/2)∣MF₂∣∣NF₂∣sin∠MF₁N
显然,当MN⊥x轴时面积S最大,此时k=+∞,L的方程为x=1.