题目

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=2a₃，S₂=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

提问时间：2020-10-13

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由

a4=2a3 S2=6

，得

a1q3=2a1q2 a1+a1q=6

…（2分）
解得

q=2 a1=2

…（4分）
所以an=a1qn-1=2n．…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，…（8分）
所以Tn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）…（9分）
=

2(1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

=2n+1+

n(n+1)

2

-2．…（12分）

（Ⅰ）利用等比数列{a_n}的通项公式和前n项和公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂a_n=2n+log22n=2ⁿ+n，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，注意分组求和法的合理运用．