题目

变积分上限函数的求导
请问∫t*f(2x-t)dt（上限为x,下限为0）如何求导?也请给出理由.
shenqi41271
你给的答案是我以前做错的答案,我们老师求出来的是：
xf(x)+2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)
我就是想知道对这个函数求导是不是把他当成复合函数求导,那样的话应该是xf(x)*2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)么?

提问时间：2020-10-13

答案

d[∫(0,x) t*f(2x-t)dt]/dx
= [∫(0,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt - ∫(0,x) t*f(2x-t)dt]/Δx
= {∫(0,x) t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx + [∫(x,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx
而因为[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]/Δx = 2f'(2x-t)
{∫(0,x) t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx
=∫(0,x) 2t*f'(2x-t)dt
令g（t）= t*f(2x+2Δx-t),记g(t)的原函数为G(t)
则[∫(x,x+Δx) t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx = [G(x+Δx)-G(x)]/Δx = G'(x) = g(x) = xf(x)（Δx为无穷小）
原式=∫(0,x) 2t*f'(2x-t)dt + xf(x)
不能看做复合函数,因为运用复合函数求导公式时,复合函数的某个自变量必须在一个函数内.
如f[g(x)],对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的,如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式,即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x).
若把原式看做复合函数,
令∫g(x)dx (上限s,下限t)= h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt（上限x,下限0）= h[t*f(2x-t),x,0],自变量x不在同一个函数内.