题目

已知M是椭圆x^2/a^2+y^2=1(a0)上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点,记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2,且k1*k2=-1/4
1).求椭圆的方程；
2).过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,若在x轴上存在定点E(m,0),是向量PE*向量QE恒为定值,求m的值

提问时间：2020-10-13

答案

1,由于M是任意一点,不妨设其在上顶点时则有k1*k2=-b^2/a^2=-1/4,b=1,a=2.
椭圆方程为:x^2/4 +y^2=1.①
2,令直线L方程为y=k(x-1) (k≠0)② 代入①并整理得:
(1+4k^2)x^2-8k^2x+4(k^2-1)=0.③
依题意Δ=(-8k^2)^2-16(1+4k^2) (k^2-1)=16(3k^2+1)>0.
令P(x1,y1),q(x2,y2),则有:x1+x2=8k^2/(1+4k^2) ④
x1x2=4(k^2-1)/ (1+4k^2),⑤ y1y2= k(x1-1)* k(x2-1)=-3k^2/(1+4k^2) ⑥
向量PE(m-x1,-y1),向量QE(m-x2,-y2).
向量PE*向量QE=((m-x1)*( m-x2)+y1y1)
=(4k^2m^2-8k^2m+4k^2+m^2-4)/ (1+4k^2) -3k^2/(1+4k^2))
=m^2-4[1+(8m+1)k^2/4]/ (1+4k^2).⑦
若⑦值为定值,则必可从中消去k.
令(8m+1) /4=4,则⑦=m^2-4.
此时由(8m+1) /4=4得m=15/8.