题目

如图,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交与点A
已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交于点A,且与x轴交于点B
.过点A作AC⊥y轴交y轴于点C,过点B作直线l∥y轴 .动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②当P在OC上时,以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,试求t的值.

提问时间：2020-10-13

答案

（1）∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=
4
3
x的图象交于点A,且与x轴交于点B．
∴
y=-x+7
y=
4
3
x
,
解得：
x=3
y=4
,
∴A点坐标为：（3,4）；
∵y=-x+7=0,
解得：x=7,
∴B点坐标为：（7,0）．
（2）①当P在OC上运动时,0≤t＜4时,PO=t,PC=4-t,BR=t,OR=7-t,
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8,
∴S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,
∴
1
2
（AC+BO）×CO-
1
2
AC×CP-
1
2
PO×RO-
1
2
AM×BR=8,
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16,
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16,
∴t2-8t+12=0,
解得：t1=2,t2=6（舍去）,
当4≤t＜7时,S△APR=
1
2
AP×OC=2（7-t）=8,解得t=3,不符合4≤t＜7；
综上所述,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；
②存在．延长CA到直线l于一点D,当l与AB相交于Q,
∵一次函数y=-x+7与x轴交于（7,0）点,与y轴交于（0,7）点,
∴NO=OB,
∴∠OBN=∠ONB=45°,
∵直线l∥y轴,
∴RQ=RB,CD⊥L,
当0≤t＜4时,如图1,
RB=OP=QR=t,DQ=AD=（4-t）,AC=3,PC=4-t,
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则AP=AQ,
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2,
∴9+（4-t）2=2（4-t）2,解得：t1=1,t2=7（舍去）,
当AP=PQ时 32+（4-t）2=（7-t）2,
解得t=4 （舍去）
当PQ=AQ时,2（4-t）2=（7-t）2,
解得t1=1+3
2
（舍去）,t2=1-3
2
（舍去）
当4≤t＜7时,如图（备用图）,过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4,
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t,
由cos∠OAC=
AE
AQ
=
AC
AO
,
得AQ=
5
3
（t-4）,
若AQ=AP,则
5
3
（t-4）=7-t,解得t=
41
8
,
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE=
1
2
AP,
得t-4=
1
2
（7-t）,
解得：t=5,
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ,于F,
AF=
1
2
AQ=
1
2
×
5
3
（t-4）,
在Rt△APF中,由cos∠PAF=
AF
AP
=
3
5
,
得AF=
3
5
AP,
即
1
2
×
5
3
（t-4）=
3
5
（7-t）,
解得：t=
226
43
,
综上所述,当t=1、5、
41
8
、
226
43
秒时,存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．