题目

设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,证明(1):a1能由a2,a3线性表示 (2):a4不能由a1,a2,a3线示

提问时间：2020-10-13

答案

（1）向量组a2,a3,a4线性无关,说明a2,a3,也线性无关；
又因为向量组a1,a2,a3线性相关,所以a1能由a2,a3线性表示
（2）假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则由于a1能由a2,a3线性表示
得到a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,与已知矛盾,
所以a4不能由a1,a2,a3线性表示
如果基础不太好,可以看看下面的答案,关于第一个问的,我引用的
由已知说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；
即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(k1,k2,k3,k4为系数)
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系：
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(c1,c2,c3为系数)
由上面第一个等式知：k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0
由上面第二条件知：a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3（不成立）
从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k4=0;如果k4≠0的话,那么经 过移项,可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾.
故在第1式中只有k4=0;
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关