题目

已知t是方程x^3-3x+p=0的一个实数根(p为实数)：（1）p为何值时,上述方程恰有两个不等实数
（2）证明：当上述方程仅有一个实数根时,|p|大于2.

提问时间：2020-10-13

答案

因为t是方程的一个根,那么原方程可写为 (x-t)(ax²+bx+c)=0的形式,其中a、b、c都是实数
x³-3x+p=0
x³-tx²+tx²-t²x+t²x-3x-t(t²-3)+t³-3t+p=0
x²(x-t)+tx(x-t)+(t²-3)(x-t)+(t³-3t+p)=0
(x-t)(x²+tx+t²-3)+(t³-3t+p)=0
所以 p=3t-t³
(1)方程有两个不等的实数根
因为已经有一根t
那么x²+tx+t²-3=0只有一解,即△=0
所以t²-4t²+12=0
t=±2
所以 p=±2
检验：
当t=2时,p=-2,原方程：x³-3x-2=0
x³-2x²+2x²-4x+x-2=0
x²(x-2)+2x(x-2)+(x-2)=0
(x-2)(x+1)²=0
x=2 或者 x=-1
当t=-2时,p=2,原方程：x³-3x+2=0
x³+2x²-2x²-4x+x+2=0
x²(x+2)-2x(x+2)+(x+2)=0
(x+2)(x-1)²=0
x=-2 或者 x=1
(2).方程仅有一实根时
因为已经有一根t
那么x²+tx+t²-3=0无实数解,即△<0
所以 t²-4t²+12<0
t²>4
t>2 或者 t<-2
所以 t²>4
所以 3-t²<-1
所以 t(3-t²)<-2 或者 t(3-t²)>2
因为 p=3t-t³=t(3-t²)
所以 ∣p∣=∣t(3-t²)∣>2