题目

设事件A,B,C两辆独立,且满足ABC=空集,及P(A)=P(B)=P(C)=x,求max(x)

提问时间：2020-10-13

答案

x最大值为1/2
分析：
x值要保证所有的由A、B、C交或并得到的集合的概率测度在0到1之间.
先考虑A∪B∪C：
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
因为ABC=空集,则P(ABC)=0
而A、B、C两两之间相互独立,则P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
所以有： P(A∪B∪C)=3x-3x²
而0≤P(A∪B∪C)≤1
则0≤3x-3x²≤1
左边不等式解得：0≤x≤1
右边不等式解得：x∈R
则0≤x≤1
其次考虑A∪B：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x²
则0≤2x-x²≤1
解得：0≤x≤1/2
同理考虑B∪C、C∪A得到的结果一样
再考虑A∪BC：
P(A∪BC)=P(A)+P(BC)-P(ABC)=x+x²
则0≤x+x²≤1
解得：0≤x≤(-1＋√5)/2
同理考虑B∪AC、C∪AB得到的结果一样
最后考虑ABC、AB、BC、CA,对x无要求

综上所述：0≤x≤1/2
则 max(x)=1/2
(说明：还可以考虑具有包含关系的集合的概率测度大小,但计算后发现对结果没有影响,这里就不写上去了)