题目

一道数学题(二次函数)求助
抛物线 与x轴的两个交点分别为A（1,0）,B（3,0）.
（1）、求这条抛物线的解析式?
（2）设点P在该抛物线上滑动,若使△PAB的面积为1,这样的点P有几个?并求出所有满足条件的P点的坐标?
（3）、设抛物线交y轴于点C,在该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小,若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由?
前两问只要答案,
打漏了 抛物线为y=-x2+bx+c
第(3)题是求M的坐标

提问时间：2020-10-13

答案

1)、 A(1,0),B(3,0)代入方程,解得y=-x^2+4x-3
2)、 AB＝2,以AB为底边,三角形的高即是P点的纵坐标
三角形面积为1,因此高为1.即P坐标为P(x,1)或者P(x,-1)
当y=1时,x=2,P（2,1）
当y=-1时,x=2±√2,P（2＋√2,－1） 或者 P（2－√2,－1）
共3解
3)、在△MAC中,AC长固定,因此要求周长最小值就是求（AM＋CM）最小值
连接BC,交对称轴于N
可证得：AN、对称轴、x轴所围成的三角形 与 BN、对称轴、x轴所围成的三角形 全等,从而AN＝BN
BC所在直线：y=x-3
所以N（2,－1）
根据“两点之间直线距离最短”,BC是＝BN＋CN＝AN＋CN是最短的,即N是所求的点M所在位置,M（2,－1）