题目

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中a＞0为常数．，试求函数f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

提问时间：2020-10-13

答案

由条件得：f（x）=

(1−a)x−a当x≥a时 −(1+a)x+a当x＜a时

，（4分）
∵a＞0，
∴-（1+a）＜0，f（x）在（-∞，a）上是减函数．
如果函数f（x）存在最小值，
则f（x）在[a，+∞）上是增函数或常数．
∴1-a≥0，
得a≤1，
又a＞0，∴0＜a≤1．（5分）
反之，当0＜a≤1时，
（1-a）≥0，∴f（x）在f[a，+∞）上是增函数或常数．
-（1+a）＜0，∴f（x）在（-∞，a）上是减函数．
∴f（x）存在最小值f（a）．
综合上述f（x）存在最小值的充要条件是0＜a≤1，此时f（x）_min=-a²（3分）

函数可变为f（x）=

(1−a)x−a当x≥a时 −(1+a)x+a当x＜a时

，运用单调性据函数的形式判断出-（1+a）＜0，结合a＞0得出答案．

本题考点：函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解不等式，分类讨论的思想，注意根据函数的形式判断出函数中参数的取值范围．难度较高．