题目

已知sinα=√2cosβ,tanα=√3cosβ,且－π／2＜2／π,0＜β＜π,求α、β

提问时间：2020-10-13

答案

因为sinα=根号2cosβ ,
所以sinα^2=2cosβ^2,
则cosα^2=1-2cosβ^2
因为tanα=根号3cotβ
所以tanα^2=3cotβ^2=3cosβ^2 /sinβ^2=3cosβ^2/(1-cosβ^2)
又因为tanα^2=sinα^2/cosα^2=2cosβ^2/(1-2cosβ^2)
所以3cosβ^2/(1-cosβ^2)=2cosβ^2/(1-2cosβ^2)
若cosβ=0,则sinα=0,但α、β属于（0,派）,故找不到此时满足的α,所以此时无解
当cosβ不为0,会有3-6cosβ^2=2-2cosβ^2
cosβ^2=1/4
cosβ=1/2或-1/2
但cosβ=-1/2时
sinα=-根号2/20
所以cosβ不为-1/2
cosβ只能为1/2
β=60度
因为tanα=根号3cotβ=1,且α属于（0,派）
所以α=45度
综上,α=45度,β=60度
因为sinα=√2cosβ
所以sinα/cosβ=√2,sinα=√2cosβ
因为tanα=√3ctgβ
所以sinα/cosα=√3cosβ/sinβ
所以sinα/cosβ=√3cosα/sinβ=√2
所以cosα=sinβ√6/3
因为sinα=√2cosβ
所以(sinα)^2=2(cosβ)^2
因为cosα=sinβ√6/3
所以(cosα)^2=2/3(sinβ)^2
两式相加：
2(cosβ)^2＋2/3(sinβ)^2＝1
6(cosβ)^2＋2(sinβ)^2＝3
4(cosβ)^2＝1
cosβ=1/2 或者 cosβ=-1/2
(1).β＝60
cosβ=1/2,sinβ=√3/2,ctgβ=√3/3
那么 sinα=√2/2,tanα=1
α=45
(2).β＝120
cosβ=-1/2,sinβ=√3/2,ctgβ=-√3/3
那么 sinα=-√2/2,tanα=-1
α在第四象限,舍去
综上所述,α=45,β=60